빅오표기법(Big-O notation)과 시간복잡도

빅오표기법과 시간복잡도

 

1. 정의

- 인수가 특정 값이나 무한으로 향할 때 함수의 극한 행위(limiting behavior)를 표현해주는 수학적 표기 -> 데이터가 늘어날 때 알고리즘 성능이 어떻게 바뀌는가?

- 알고리즘의 효율성을 상한선 기준으로 표기해준다 -> "최악의 시나리오"

 

1.1. 복잡도

 

시간복잡도와 공간복잡도

 

- 시간복잡도 : 입력된 N의 크기에 따라 실행되는 조작의 수 ("데이터 원소가 N개일 때 알고리즘에 몇 단계가 필요한가")

- 공간복잡도 : 알고리즘이 실행될때 사용하는 메모리의 양

 

 

1.2. 수학적 정의

$n \geq n_{0}$ 인 모든 $n$ 에 대해 $f(n) \leq cg(n)$ 인 양수 $c,\ n_{0}$ 가 존재한다면, $f(n)$ 을 $O(g(n))$ 이라고 나타낼 수 있다 

 

$n$은 $O(n)$로 나타낼 수 있다 - $n_{0}=1$, $c=1$ 이면 $n \leq n$ 이 만족되므로 

$2n$은 $O(n)$로 나타낼 수 있다 - $n_{0}=1$, $c=2$ 이면 $2n \leq 2n$ 이 만족되므로 

 

$n$은 $O(2n)$로 나타낼 수 있다- $n_{0}=1$, $c=\frac{1}{2}$ 이면 $n \leq \frac{1}{2} * 2n = n$ 이므로

$n$은 $O(n^{2})$로 나타낼 수 있다 - $n_{0}=1$, $c=1$ 이면 $n \leq n^{2}$ 이 만족되므로

 

$n^{2}$은 $O(n)$로 나타낼 수 없다 - $c$가 아무리 크더라도, 언젠가 항상 $cn$보다 $n^{2}$가 커지기 때문에, $n^{2} \leq cn$ 를 만족하는 $n_{0}$, $c$가 존재하지 않는다

 

$n^{2}$은 $O(n^{2})$는 맞음

$3n^{2}$ 역시 $O(n^{2})$가 됨

 

....

 

-> 빅오로 시간 복잡도를 표현할때는 최고차항만 표기힌다.

 

 

 

2. 시간복잡도

2.1. 규칙

1. $n \geq 0$

입력값 $n$은 항상 $0$보다 크며, 복잡도 또한 $0$보다 크다고 가정한다

 

2. 함수는 더 많은 입력값이 있을 때 더 많은 작업을 한다

 

3. 모든 상수는 삭제한다

$n$, $2n$, $3n$ 모두 $O(n)$으로 표현할 수 있다

 

4. 낮은 차수의 항들은 무시한다

- $n$ 이 무한으로 커지는 경우를 상정한다

- $n^{3} + n^{2} +n$ 에서 시간 복잡도에 영향을 미치는 것은 $n^{3}$이다

 

5. $\log$의 밑은 무시한다

- 밑은 무시하고 $O(\log n)$ 으로 표시한다

 

6. 등호로 표현한다

- $2n = O(n)$ 및 $2n \in O(n)$

 

 

따라서 ...

 

$1$	$O(1)$
$2n+20$	$O(n)$
$3n^{2}$	$O(n^{2})$

 

이런 식이다.

 

 

2.2. 종류

시간복잡도	1	10	100	문제 해결 단계
$O(1)$	1	1	1	상수 시간 (문제 해결 시 오직 한 단계만 처리)
$O(\log n)$	0	2	5	로그 시간 (문제 해결에 필요한 단계들이 연산마다 특정 요인에 의해 줄어듦)
$O(n)$	1	10	100	직선적 시간 (문제를 해결하기 위한 단계의 수와 입력값 n이 1:1 관계를 가짐)
$O(n \log n)$	0	20	461	선형로그 시간 (문제를 해결하기 위한 단계의 수가  $n*(\log 2n)$ 번만큼의 수행시간을 가짐)
$O(n^{2})$	1	100	10000	2차 시간 (문제를 해결하기 위한 단계의 수는 입력값 n의 제곱)
$O(2^{n})$	2	1024	1267650600228229401496703205376	지수 시간 (문제를 해결하기 위한 단계의 수는 주어진 상수값 2 의 n 제곱)
$O(n!)$	1	3628800	표시 불가

 

 

2.3. 예제

- O(1) : 상수

입력과 관계없이 시간복잡도 동일하게 유지됨

def hello():
    print('hello, world!')PYTHON

 

- O(N) : 선형

입력이 증가함에 따라 복잡도가 선형적으로 증가함

def print_each(data):
    for item in data:
        print(item)PYTHON

 

- O(N^2) : Square

반복문이 겹쳐짐

def print_each_n_times(li):
    for n in li:
        for m in n:
            print(n, m)PYTHON

 

- O(log N), O(N log N)

입력 크기에 따라 처리시간 증가 ex. 정렬알고리즘

# 이진 검색

def binary_search(li, item, first=0, last=None):
    if not last:
        last = len(li)
    midpoint = (last - first) / 2 + first
    if li[midpoint] == item:
        return midpoint
    elif li[midpoint] > item:
        return binary_search(li, item, first, midpoint)
    else:
        return binary_search(li, item, midpoint, last)PYTHON

 

+ 정렬 알고리즘별, 자료구조별 시간 복잡도..