Point-line Duality

동차좌표계의 Point-line Duality

point 는 3차원 벡터로 표현되기 때문에 plane 임

 

[이전 내용과 동일]

- 두 점을 cross 함으로써 두 점을 이루는 선에 대한 surface normal 를 구할 수 있음 (동차 3차원 벡터)

- 두 선을 cross 함으로써 두 선의 surface noraml 에 대해 수직인 교차점(ray)을 구할 수 있음

 

"duality"

3차원 상 점이 선과 같이 기능하기 때문

 

만약 P가 (x, y, 0) 라면?

* image plane 의 모든 점은 (x, y, 1) 이어야 했음. 그렇다면?

마지막 요소로 나눔으로써 2차원 점으로 변환할 수 있었음. x를 0으로 나누고 y를 0으로 나누면 무한대가 나옴

image 안에서, 평행하는 선들의 집합과 관련되는 하나의 무한대점이 있음

 

이미지 위에서 1만큼 거리가 떨어진 두 평행하는 세로 선이 있다고 가정

두 선을 cross 하면 세번째 요소가 0인 교차점이 나옴; 세로(y) 방향의 vanishing point

즉 이미지의 vanishing point는 동차좌표 상 두 평행선의 교차점으로 구할 수 있음 (물리적으로는 교차하지 않음)

 

point at infinity는 앞 두 요소는 0이 아닌 것, 마지막 세번째 요소는 0인 것으로 표현됨

 

 

그렇다면 lines at infinity 는 무엇일까?

어떤 방향이든 (x, y, 0) 를 가지게 됨 -> x, y 를 계속 바꿔보다 보면 하나의 고유한 선을 지나게 되어 있음

이 선은 (0,0,1) 이어야 함.  (여기에서 언급했던, l 이 (0, 0, 1) 이라면?)

원점에서 뻗어나가 image 의 중심으로 나아가, tilt 되어 image plane 에 거의 평행하는 선 --> line at infinty

 

"ideal points, ideal lines"

 

같은 방향으로 평행하는 선들은 모두 하나의 소실점 (x, y, 0)을 가짐

(a, b, 0)로 된 선들은 이미지 상에서는 선이지만 원점을 지나는 선들이며 (0, 0, 1) 선에서 무한대가 됨